DERIVADAS

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

ANÁLISIS MARGINAL

1.Ejemplo

El fabricante de una empresa de zapatos, sabe que sus ingresos semanales por la venta de 100 pares de estos, de una referencia M esta dada por 

Calcular e interpretar el ingreso total, marginal y promedio.

INGRESO TOTAL

R//=Los ingresos totales de producir y vender 100 pares de zapatos de referencia M a la semana es de 6000 dolares.

INGRESO MARGINAL

R//=En promedio por cada unidad extra producida y vendida los ingresos totales aumentan en 55 dolares.

INGRESO PROMEDIO

R//=En promedio los ingresos por par de zapatos producidos y vendidos es de $60, cuando se producen 100 pares semanales.

2.Ejemplo

Calcular los ingresos totales, marginales y promedio, si semanalmente se producen 25 unidades.

=Ecuación de demanda

INGRESO TOTAL

R//= Los ingresos totales de produccir y vender 25 unidades semanalmente son de $812.5

INGRESO MARGINAL

R//= En promedio por cada unidad extra producida y vendida los ingresos totales aumentan $57.5

INGRESO PROMEDIO

R//= En promedio los ingresos por unidad producida y vendida son de $32.5, cuando se producen 25 unidades.

3. Ejemplo

Un fabricante estima que si se producen semanalmente Q unidades de un determinado articulo el costo total sera de :

Todas las unidades pueden venderse a un precio de : P= 0.2(45-0.5X)   Dolares/Unidad

Calcular la utilidad marginal y promedio si se producen y venden 6 unidades.

UTILIDAD TOTAL

R//= Si se producen y venden 6 unidades la utilidad total sera de $8 dolares.

UTILIDAD MARGINAL

R//=En promedio si se produce y vende una unidad extra la utilidad total no aumenta.

UTILIDAD PROMEDIO

R//= La utilidad promedio por unidad producida y vendida es de $1.3 dolares, cuando se producen y venden 6 unidades.

LIMITES

Es una magnitud a la que se acerca progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un limite expresa la tendencia de una función o de una serie o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Calculo del limite en un punto

si f (x) es una función usual (polinomicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc), y esta definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir, para cumplir el limite se sustituye en la función el valor al que tienden las X.

1.Ejemplo 

Se sabe que el precio de un articulo P a traves de tiempo T(en meses) esta dado por la función:

Si se sabe que le precio de este articulo el próximo mes sera de $ 6.50 y el siguiente mes sera de $6.00. se desea saber:

a). El precio del articulo para este mes 

b). En que mes el precio sera de $5.50

c). Que ocurre con el precio a largo plazo

t=0 mes actual               t=1 próximo mes (6.50)           t=2 siguiente mes (6.00)

a). 

R//= El precio del articulo para este mes sera de $8

b).

R//= El precio sera de $5.50 en el mes 5

c).

2.Ejemplo

En una fabrica de computadores, el numero medio de computadores que una persona puede ensamblar (N) después de T semanas de haber recibido capacitación, esta dado por:

a). Calcule el numero medio de computadores que puede ensamblar una persona luego de haber recibido la capacitación durante 10 semanas.

b). Determine el numero medio de computadores que pueden ensamblar cuando la cantidad de semanas crece indefinidamente.

a)

                                                     

R//=El //numero medio de computadores que puede ensamblar una persona luego de haber recibido capacitación durante 10 semanas es de 59.77.

b)

R//=Cuando la cantidad de semanas crece indefinidamente el numero medio de computadores que puede ensamblar una persona es de 157.

3.Ejemplo

Un banco ofrece una tarjeta de crédito. Por datos obtenidos a lo largo del tiempo, han determinado que el porcentaje de cobranza de las que se otorgan en un mes cualquiera es función del tiempo transcurrido después de concederlas. Y este porcentaje esta dado por la función: 

Donde P es el porcentaje de cuentas por cobrar T meses después de otorgar la tarjeta.

a) Que porcentaje se espera cobrar luego de 2 y 5 meses?

b) Si el numero de meses transcurridos desde el otorgamiento de la tarjeta crece indefinidamente, determina el porcentaje de las mismas que se espera cobrar.

a) 

b) 

INCREMENTO Y TASA DE CAMBIO

EL CALCULO DIFERENCIAL

Es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando ocurren cambios en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.
En otras palabras, consiste en revisar la tasa de cambio de una variable Y, como respuesta a un cambio en otra variable X, donde las dos están relacionadas entre si por la función Y= f(X)*
*El modelo puede ser generalizado para n variables.

INCREMENTO
Es el cambio que experimenta la variable dependiente (Y) por cada cambio o valor diferente que tome la variable independiente (X)

TASA DE CAMBIO
La tasa de cambio promedio de una función f, se define como la razón 

Ejemplos

1.Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir X toneladas de cierto fertilizante esta dado porpesos , y el ingreso obtenido por la venta de X toneladas esta dado por . La compañía, actualmente, produce 3100 toneladas por semana, pero esta considerando, incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. calcular los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad para las toneladas extra producidas.

SOLUCIÓN

INCREMENTO EN EL COSTO

R//= Si se incrementa la producción en 100 toneladas los costos incrementan en 4000.

INCREMENTO EN EL INGRESO

R//= Si se incrementa la producción en 100 toneladas los ingresos incrementan en 3700.

INCREMENTO EN LA UTILIDAD

R//= Si se incrementa la producción en 100 toneladas la utilidad disminuye en 300.

TASA DE CAMBIO DE LA UTILIDAD

R//= En promedio por cada tonelada extra producida y vendida, la utilidad disminuye en 3

2.Ejemplo

La función de costo de cierto articulo es , calcula el incremento en los costos si la producción X cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio y el costo promedio por las unidades extra producidas.

INCREMENTO EN LOS COSTOS

R//=Si se incrementa la producción el 5 unidades, los costos totales se incrementan en 8644.

TASA DE CAMBIO 

R//=En promedio por cada unidad extra que se incremente la producción, los costos totales aumentan en 1729.

COSTO PROMEDIO

R//=En promedio el costo por unidad cuando se producen 100 unidades es de 5920

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE INCREMENTO

Si el incremento de la variable dependiente Y es negativo indica que la gráfica decrece del intervalo X1 a X2, si da positivo la gráfica crece del intervalo X1 a X2.

CONCEPTO GEOMÉTRICO DE TASA DE CAMBIO

Es la pendiente de una linea secante a la curva 

Calcular y graficar la linea secante a la curva